Lecture (4 SWS):
every Monday 10:00 - 11:30 in 44-465 and every Wednesday 8:15 - 9:45 in 48-538 (as noted in KIS), first lecture on 20.04.2009
The tutorials take place on every Wednesday 13:45 - 15:15 in 49-506.
Lecturer: Martin Gutting
The lecture will be given in English!News
Tutorials 10 and 11 are shifted to Thursday, July 16 and 23, 11:45-13:15 in 49-506.
Illustrations corresponding to regularization by
TSVD and Tikhonov-Phillips (only as PDF)
Illustrations corresponding to the heat equation
Illustrations corresponding to differentiation
Illustrations corresponding to reconstructions
via singular value decomposition with noise
Illustrations of spherical harmonics
Fundamentals in Functional Analysis: download as
PDF
or as
Postscript (ca. 0.6 MB)
Lecture Notes as PDF:
lecture notes (July 22) Note: the file is currently roughly 9 MB.
Exercises for the tutorials
sheet 1
sheet 2 Solution for Exercise 2.4 (.m-file)
sheet 3
sheet 4
sheet 5
sheet 6
sheet 7 Solution for Exercise 7.2 (PDF with all the figures) (zip-file containing the m-files)
sheet 8
sheet 9
sheet 10
sheet 11
Contents
Inverse problems today appear in many technological problems.
If one wants to know the reason of a measured effect, one has to cope with
an inverse problem. For example in computer tomography, the attenuation
of x-rays is measured after they have passed the object of interest
(e.g. the human body). The cause for the attenuation is the density of
the object. From the mathematical point of view, inverse problems
consist of inverting certain operator equations of the first kind. In
the equation Ax=y, y is given and x is wanted. An inverse problem is
especially concerned with the case that y is not given exactly, y is
not in the image of A or A^-1 is not continuous, which is the case if A
is compact and D(A) is not finite dimensional. Inverse problems have to
be regularized (stabilized), to avoid the appearing amplification of
errors. The lecture will give a mathematical introduction for the solution
and the regularization of inverse problems with concrete geomathematical
and other technological applications.
Inhalt
Inverse Probleme treten in der
heutigen Technologie häufig auf. Immer wenn man von einer
beobachteten
Wirkung auf deren Ursache schließen möchte, liegt ein
inverses Problem
vor. So wird in der Computer-Tomographie die Abminderung von
Röntgenstrahlen gemessen beim Durchgang durch ein Objekt (z.B.
menschlicher Körper). Die Ursache der Abminderung ist die Dichte
des
Objekts. Aus mathematischer Sicht bestehen inverse Probleme darin,
Operatorgleichungen der ersten Art zu lösen. Man habe eine
Gleichung
Ax=y und y sei gegeben. Gesucht ist x. Hierbei ergibt sich ein inverses
Probleme u. a. dadurch, dass y nur ungenau angegeben ist oder dass y
nicht im Bildraum von A liegt oder dass A^-1 zwar existiert, aber nicht
stetig ist, was der Fall ist, wenn A kompakt ist und D(A) nicht endlich
dimensional ist. Inverse Probleme müssen regularisiert
(stabilisiert)
werden, um die auftretende Fehlerverstärkung zu vermeiden. Die
Vorlesung führt ein in die mathematischen Grundlagen zur Lösung
und Regularisierung inverser Probleme, zielt dabei aber auch auf konkrete
Anwendungen aus der Geomathematik und anderer technischer Gebiete ab.
